Булеви функции. Теорема на Пост-Яблонски за пълнота


Категория на документа: Информатика



Теорема: P (hn = k) = за всяко k = 0, 1, …, n.
Доказателство: Да означим с W (e1, e2, …, en) събитието
(x1 = e1, x2 = e2, …, xn = en). Тъй като случайните величини
x1, x2, …, xn са независими в съвкупност, то
P (W (e1, e2, …, en)) = P (x1 = e1). P (x2 = e2). …. P (xn = en) =
= . Тогава P (hn = k) =

Сега ще пресметнем математическото очакване и дисперсията на биномно разпределената случайна величина n.
Имаме En = E(1 + 2 + …+ n) = E1 + E2 + …+ En =
= (1.p + 0.q) + (1.p + 0.q) + …+ (1.p + 0.q) = n.p.
Също Dn = D(1 + 2 + …+ n) = D1 + D2 + …+ Dn =
= E12 – (E1)2 + E22 – (E2)2 + …+ En2 – (En)2 =
= (12.p + 02.q) – (1.p + 0.q)2 + (12.p + 02.q) – (1.p + 0.q)2 + …
+ (12.p + 02.q) – (1.p + 0.q)2 = n.(p – p2) = n.p.(1 – p) = n.p.q.
При изчисляването на дисперсията използвахме, че случайните величини 1, 2, …, n са независими в съвкупност.
Пример за задача, в която възниква биномно разпределение е задачата за хвърляне на правилна монета. Величината
“броят на хвърлените ези от n хвърляния” е биномно
разпределена – при нея p = q = .

Нека p е реално число, 0  p < 1, q = 1 – p, 0 < q  1.
Казваме, че една целочислена случайна величина x има геометрично разпределение, ако P (x = m) = pm.q, m = 0, 1, 2, ….
Случайната величина x може да се интепретира като брой успехи до първи неуспех в схемата на Бернули. Посоченото разпределение е коректно: P (x = m) ³ 0 за всяко m Î  и . За да пресметнем математическо очакване и дисперсията на x разглеждаме функцията
f (s)= , дефинирана при |s|< или за всяко s   ,
ако p = 0. f (s) се нарича пораждаща функция на целочислената случайна величина x. Имаме f (s) = .
Също така, f (s) = при |s|<.
Използвахме, че във вътрешността на областта на сходимост на реда f (s) е в сила теоремата за почленно диференциране. От друга страна, f (s) = при |s|<.
Също така, f (s) = при |s|<.
Отново използвахме теоремата за почленно диференциране.
От друга страна, f (s) = при |s|<. Сега пресмятаме Ex = = f (1) = . Също, Dx = Ex.(x - 1) + Ex – (Ex)2 =
== f (1) =
=.
Пример за задача, в която възниква геометрично разпределение е задачата за стрелба по мишена. Величината “брой улучвания преди първи пропуск” има геометрично разпределение.

Нека l е реално число, l > 0. Казваме, че една целочислена случайна величина x има поасоново разпределение,
ако P (x = k) = , k = 0, 1, 2, …. Посоченото разпределение е коректно: P (x = k) ³ 0 за всяко k Î  и освен това . За да пресметнем математическо очакване и дисперсията на x разглеждаме нейната пораждаща функция f (s) = = = , дефинирана за всяко s  . От една страна, като използваме теоремата за почленно диференциране, получаваме f (s) = , от друга страна f (s) = .l. Също с теоремата за почленно диференциране, f (s) = , а от друга страна,
f (s) = (.l) = .l2.
Сега вече можем да пресметнем математическото очакване и дисперсията на x.
Ex = = f (1) = = l.
Dx = Ex.(x - 1) + Ex – (Ex)2 = + l - l2 = f (1) + l - l2 =
= + l - l2 = l.
Може да се покаже, че поасоновото разпределение е граница на биномни разпределения при n  , така че np   > 0.
Разпределението на Поасон е особено подходящо за моделиране на броя на случайни редки събития – например, брой засечени радиоактивни частици на единица обем, брой на радиоактивните разпадания за единица време и т.н.

Нека са фиксирани N, M, n Î , при това n  N, M  N.
Казваме, че една целочислена случайна величина x има хипергеометрично разпределение,
ако P (x = m) = , m = 0, 1, …, n.
Считаме, че = 0 при s < k. Посоченото разпределение е коректно: P (x = m) ³ 0 за всяко m Î { 0, 1, …, n } и
.
Използвали сме известното тъждество на Коши.
Сега ще пресметнем математическото очакване и дисперсията на хипергеометрично разпределената целочислена случайна



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Булеви функции. Теорема на Пост-Яблонски за пълнота 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.